В этой теме интересны прежде всего морфологические особенности, сходство и различие с другими народами.
Части, как Вы выразились имеют свои названия: абадзехи, бжедуги, темиргои, бесленеи, кабардинцы, шапсуги и другие. Адыгейцы и черкесы не являются названиями черкесских субэтносов. Ни один черкесский субэтнос не имеет территориальной автономии. (http://www.elot.ru/main/index.php?option=com_content&task=view&id=1188&Itemid=5 - просто для сведения)
Ведь если дело повернуть таким боком, тогда и абхазов на бзыпьцев и абжуцев давайте делить, балкарцев на безенгийцев, хуламцев и других, осетин на иронцев, дигорцев, кударцев и прочие. Делить нужно по субэтническим особенностям и месту проживания, а не адм-тер. единицам и придуманным еще в СССР названиям.