А почему они не желали оставаться в православии? Это могло быть инструментов влияния восточного соседа или причина что-то типа этой?
Тут целый комплекс причин, включая и выделенную вами. Ещё и способ сохранения собственной идентичности и противопоставления себя полякам. Также нужно понимать, что Константинополь почил в бозе, и кроме Московского царства, главного соперника и врага, никого из крупных игроков не осталось и никакую выгоду, дипломатическую и союзническую, извлечь из православия было нельзя (учитывая, что собственный монарх это католик и православие не являлось государственной религией и не давало ничего для движения по социальным лифтам), равно как и престижа. И также не стоит забывать, что это уже было более свободное и вестернизированное общество вкусившее плоды Ренессанса, с книгопечатанием и десятками частных типографий, светской прозой и поэзией, диспутами и полемикой по переписке, научным прогрессом, школами и гуманизмом. Православие московского образца было в этотом контексте дремучим антипримером вообще.
Точно такие же факторы привели к расцвету протестантизма и в других регионах Европы, где Ватикану на бегу пришлось подстраиваться и не только огнём и железом решать проблему потери паствы, но и существенными реформами и преобразованиями, модернизацией. Время было такое и социальный запрос.